Упр.8.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Известно, что $$\operatorname{tg}\alpha=-\frac{5}{12}$$. Найдите $$\sin\alpha$$ и $$\cos\alpha$$.

Так как $$\tg \alpha=-\frac{5}{12}$$, то тангенс отрицательный. Значит, угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, поэтому $$\sin \alpha>0$$, $$\cos \alpha<0$$.

По основному тригонометрическому тождеству

$$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}.$$

Тогда

$$\cos \alpha=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{25}{144}}}=-\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{144}}}=-\frac{12}{13}.$$

Теперь найдём синус:

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},$$

откуда

$$\sin \alpha=\tg \alpha\cdot \cos \alpha=-\frac{5}{12}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13}.$$

Ответ: $$\sin \alpha=\frac{5}{13},\ \cos \alpha=-\frac{12}{13}.$$