Упр.14.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найти: отношение площади круга, описанного около квадрата,
к площади круга, вписанного в квадрат;
Решение:
1) Пусть a-сторона этого квадрата, R-радиус описанного круга
и r-радиус вписанного круга;
2) Выразим радиусы R и r через сторону a квадрата.

Пусть $$a$$ — сторона квадрата, $$R$$ — радиус описанного около него круга, $$r$$ — радиус вписанного круга.

Выразим радиусы через сторону квадрата:

$$R=\frac{a}{2\sin 45^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}},$$

$$r=\frac{a}{2\tan 45^\circ}=\frac{a}{2}.$$

Теперь найдём отношение площадей кругов:

$$\frac{S_{\text{опис}}}{S_{\text{впис}}}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\left(\frac{R}{r}\right)^2 =\left(\frac{a/\sqrt{2}}{a/2}\right)^2 =\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2=2.$$

Ответ

$$2$$