Упр.7.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Радиус окружности равен $$5\ \text{м}$$. Из точки, отстоящей от центра на $$13\ \text{м}$$, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними.

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$A$$ — данная точка, а $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Тогда $$OA=13\text{ м}$$, $$OB=OC=5\text{ м}$$.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

$$OB\perp AB,\qquad OC\perp AC.$$

Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ прямоугольные. В треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ м}.$$

Аналогично $$AC=12\text{ м}$$.

Найдём угол между касательными. В прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$\sin \angle BAO=\frac{OB}{AO}=\frac{5}{13}.$$

Отсюда $$\angle BAO \approx 22^\circ37’$$.

Треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны, значит $$\angle BAO=\angle OAC$$. Тогда угол между касательными равен

$$\angle BAC=\angle BAO+\angle OAC=2\cdot 22^\circ37’=45^\circ14′.$$

Ответ: $$12\text{ м}$$, $$45^\circ14’$$.