Упр.6.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон.

Тогда $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac12 AC.$$

Аналогично, $$FG$$ — средняя линия треугольника $$CBD$$, поэтому

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac12 BD.$$

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $$AC=BD$$. Следовательно,

$$EF=FG.$$

По задаче 55 четырёхугольник $$EFGH$$ является параллелограммом. У параллелограмма равные соседние стороны, значит все его стороны равны:

$$EF=FG=GH=HE.$$

Следовательно, $$EFGH$$ — ромб.

Теперь пусть $$ABCD$$ — ромб, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон.

Тогда $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$EF \parallel AC.$$

А $$FG$$ — средняя линия треугольника $$CBD$$, поэтому

$$FG \parallel BD.$$

В ромбе диагонали перпендикулярны, то есть $$AC \perp BD$$. Отсюда

$$EF \perp FG.$$

По задаче 55 четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником, значит $$EFGH$$ — прямоугольник.

Ответ: середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба, а середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.