Упр.15.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объёмов цилиндров.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $$a$$. Тогда основание цилиндра, описанного около призмы, — окружность, описанная около равностороннего треугольника, а основание цилиндра, вписанного в призму, — окружность, вписанная в этот треугольник.

Для равностороннего треугольника со стороной $$a$$:

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$
$$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$

Высоты обоих цилиндров одинаковы, поэтому отношение их объёмов равно отношению площадей оснований:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi R^2H}{\pi r^2H}=\frac{R^2}{r^2}$$

Подставим найденные радиусы:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2}{\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2} =\frac{a^2/3}{a^2/12}=4$$

Ответ: $$4:1$$.