Упр.15.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 57. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объёмов цилиндров. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-57 76

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — сторона основания правильной треугольной призмы. Тогда основанием цилиндра, вписанного в призму, является окружность, вписанная в равносторонний треугольник, а основанием цилиндра, описанного около призмы, — окружность, описанная около этого треугольника.

Для равностороннего треугольника со стороной $$a$$:

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$
$$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$

Высоты цилиндров одинаковы, поэтому отношение их объёмов равно отношению площадей оснований:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi R^2H}{\pi r^2H}=\frac{R^2}{r^2}$$

Подставим найденные радиусы:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2}{\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2} =\frac{\frac{a^2}{3}}{\frac{a^2}{12}}=4$$

Значит, объём цилиндра, описанного около призмы, в 4 раза больше объёма цилиндра, вписанного в призму.