Упр.8.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите $$\cos\alpha$$ и $$\operatorname{ctg}\alpha$$, если:

1. $$\sin\alpha=0{,}6$$, $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$;
2. $$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$$, $$90^\circ<\alpha<180^\circ$$;
3. $$\sin\alpha=0^\circ<\alpha<180^\circ$$.

Используем тождество $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ откуда

$$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}.$$

Также $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

1. Если $$\sin\alpha=0{,}6=\frac35,$$ $$0^\circ<\alpha<90^\circ,$$ то $$\cos\alpha>0.$$

   $$\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =\sqrt{1-\frac{9}{25}} =\sqrt{\frac{16}{25}} =\frac45.$$

   $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\frac45}{\frac35} =\frac43.$$

2. Если $$\sin\alpha=\frac13,$$ $$90^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то $$\cos\alpha<0.$$

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2} =-\sqrt{1-\frac19} =-\sqrt{\frac89} =-\frac{2\sqrt2}{3}.$$

   $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{-\frac{2\sqrt2}{3}}{\frac13} =-2\sqrt2.$$

3. Если $$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt2},$$ $$0^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то возможны два случая: $$\alpha$$ острый или тупой угол.

   $$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2} =\pm\sqrt{1-\frac12} =\pm\sqrt{\frac12} =\pm\frac{1}{\sqrt2}.$$

   $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\pm\frac{1}{\sqrt2}}{\frac{1}{\sqrt2}} =\pm1.$$

Ответ: 1) $$\cos\alpha=\frac45,$$ $$\ctg\alpha=\frac43$$; 2) $$\cos\alpha=-\frac{2\sqrt2}{3},$$ $$\ctg\alpha=-2\sqrt2$$; 3) $$\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt2},$$ $$\ctg\alpha=\pm1$$.