Упр.6.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

У четырёхугольника диагонали равны $$a$$ и $$b$$. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон. Обозначим диагонали: $$AC=a$$ и $$BD=b$$.

Тогда $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}.$$

Аналогично, $$FG$$ — средняя линия треугольника $$CBD$$, поэтому

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac{1}{2}BD=\frac{b}{2}.$$

Из предыдущей задачи известно, что $$EFGH$$ — параллелограмм, следовательно, его противоположные стороны равны:

$$EH=FG,\qquad HG=EF.$$

Тогда периметр четырёхугольника $$EFGH$$ равен

$$P_{EFGH}=EF+FG+GH+HE =2\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right) =a+b.$$

Ответ: $$a+b$$.