Упр.15.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объём увеличился в $$п$$ раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объём увеличился в $$n$$ раз?

Объём цилиндра равен

$$V=\pi R^2H,$$

где $$R$$ — радиус основания, $$H$$ — высота цилиндра.

1) Пусть основание не меняется, а высота увеличивается в $$k$$ раз. Тогда

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R^2\cdot kH}{\pi R^2\cdot H}=k.$$

По условию $$\frac{V_2}{V_1}=n$$, значит $$k=n$$. Следовательно, высоту надо увеличить в $$n$$ раз.

2) Пусть высота не меняется, а радиус основания увеличивается в $$m$$ раз. Тогда

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi (mR)^2H}{\pi R^2H}=m^2.$$

По условию $$\frac{V_2}{V_1}=n$$, значит

$$m^2=n,\qquad m=\sqrt{n}.$$

Следовательно, радиус основания надо увеличить в $$\sqrt{n}$$ раз.

Ответ: 1) в $$n$$ раз; 2) в $$\sqrt{n}$$ раз.