Упр.15.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: объем цилиндра увеличился в n раз;
Найти: 1) во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя
его основание; 2) во сколько раз надо увеличить радиус основания
цилиндра, не меняя высоту;
Решение:
Объем цилинра равен:
V=?R^2 H, где R-радиус основания и H-высота цилиндра;
1) Найдем изменение высоты цилиндра:
V2/V1 =n = > (ПиR^2 H2)/(ПиR^2 H1 )=n = > H2/H1 =n, отсюда H2=n•H1;
2) Найдем изменение радиуса основания цилиндра:
V2/V1 =n = > (ПиR2^2 H)/(ПиR1^2 H)=n = > (R2/R1 )^2=n, отсюда R2=vn•R1;
Ответ: 1) в n раз; 2) в vn раз.

Подробный ответ

Объём цилиндра вычисляется по формуле

$$V=\pi R^2H,$$

где $$R$$ — радиус основания, $$H$$ — высота цилиндра.

1) Пусть основание не меняется, а высота увеличивается в $$k$$ раз. Тогда

$$V_2=\pi R^2\cdot kH=kV_1.$$

По условию $$V_2=nV_1$$, значит $$k=n$$. Следовательно, высоту нужно увеличить в $$n$$ раз.

2) Пусть высота не меняется, а радиус основания увеличивается в $$m$$ раз. Тогда

$$V_2=\pi (mR)^2H=m^2V_1.$$

По условию $$V_2=nV_1$$, значит

$$m^2=n,\qquad m=\sqrt{n}.$$

Следовательно, радиус основания нужно увеличить в $$\sqrt{n}$$ раз.