Упр.8.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите $$\sin \alpha$$ и $$\operatorname{tg}\alpha$$, если: 1) $$\cos\alpha=\frac{1}{3}$$; 2) $$\cos\alpha=-0{,}5$$; 3) $$\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 4) $$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
Используем тождества $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ и $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$ Тогда
Если $$\cos\alpha=\frac13,$$ то
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{1-\frac19}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2\sqrt2/3}{1/3}=2\sqrt2.$$
Если $$\cos\alpha=-0{,}5=-\frac12,$$ то
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac12\right)^2}=\sqrt{1-\frac14}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt3/2}{-1/2}=-\sqrt3.$$
Если $$\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2},$$ то
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac12}=\sqrt{\frac12}=\frac{1}{\sqrt2}.$$
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1/\sqrt2}{\sqrt2/2}=1.$$
Если $$\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2},$$ то
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac34}=\sqrt{\frac14}=\frac12.$$
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1/2}{-\sqrt3/2}=-\frac{1}{\sqrt3}.$$
Ответ: 1) $$\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3},\ \tg\alpha=2\sqrt2$$; 2) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\ \tg\alpha=-\sqrt3$$; 3) $$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt2},\ \tg\alpha=1$$; 4) $$\sin\alpha=\frac12,\ \tg\alpha=-\frac{1}{\sqrt3}$$.
