Упр.14.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 56. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника.

Пусть $$R$$ — радиус круга, а $$n$$ — число сторон правильного многоугольника, вписанного в этот круг. Тогда центр круга обозначим через $$O$$, а одну из сторон многоугольника — через $$AB$$.

Так как многоугольник правильный, то все его вершины лежат на окружности, значит $$OA=OB=R$$, а центральный угол

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$

Площадь треугольника $$AOB$$ равна

$$S_{AOB}=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot \sin\angle AOB=\frac12 R^2\sin\frac{360^\circ}{n}.$$

Весь правильный $$n$$-угольник состоит из $$n$$ таких равных треугольников, поэтому

$$S_n=n\cdot S_{AOB}=\frac{nR^2}{2}\sin\frac{360^\circ}{n}.$$

Площадь круга:

$$S_c=\pi R^2.$$

Тогда отношение площади круга к площади вписанного правильного $$n$$-угольника равно

$$\frac{S_c}{S_n}=\frac{\pi R^2}{\frac{nR^2}{2}\sin\frac{360^\circ}{n}}=\frac{2\pi}{n\sin\frac{360^\circ}{n}}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

1) Для квадрата, $$n=4$$:

$$\frac{S_c}{S_4}=\frac{2\pi}{4\sin 90^\circ}=\frac{2\pi}{4\cdot 1}=\frac{\pi}{2}.$$

2) Для правильного треугольника, $$n=3$$:

$$\frac{S_c}{S_3}=\frac{2\pi}{3\sin 120^\circ}=\frac{2\pi}{3\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{4\pi}{3\sqrt3}.$$

3) Для правильного шестиугольника, $$n=6$$:

$$\frac{S_c}{S_6}=\frac{2\pi}{6\sin 60^\circ}=\frac{2\pi}{6\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{2\pi}{3\sqrt3}.$$

Ответ

$$1)\ \frac{\pi}{2};\quad 2)\ \frac{4\pi}{3\sqrt3};\quad 3)\ \frac{2\pi}{3\sqrt3}.$$