Упр.7.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Диагонали ромба равны $$4{,}73$$ и $$2{,}94$$. Найдите его углы.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, $$AC=4{,}73$$, $$BD=2{,}94$$, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC=\frac{4{,}73}{2}=2{,}365,$$
$$BO=OD=\frac{2{,}94}{2}=1{,}47.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOC$$. Тогда

$$\tg \angle BOC=\frac{OC}{BO}=\frac{2{,}365}{1{,}47}\approx 1{,}6081.$$

Отсюда

$$\angle BOC \approx 58^\circ 8′.$$

Так как $$\angle BCO=90^\circ-\angle BOC,$$ получаем

$$\angle BCO=90^\circ-58^\circ 8’=31^\circ 52′.$$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому

$$\angle B=2\angle BOC=2\cdot 58^\circ 8’=116^\circ 16′,$$
$$\angle A=2\angle BCO=2\cdot 31^\circ 52’=63^\circ 44′.$$

Противоположные углы ромба равны, значит $$\angle D=\angle B$$, $$\angle C=\angle A$$.

Ответ: $$116^\circ 16’$$ и $$63^\circ 44’$$.