Упр.15.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Шар радиуса $$R$$ вписан в усечённый конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен $$\alpha$$. Найдите радиусы оснований и образующую усечённого конуса.

Подробный ответ

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры оснований усечённого конуса, а $$O$$ — центр вписанного шара. Тогда $$O$$ лежит на оси конуса, причём

$$OO_1=OO_2=R,\qquad O_1O_2=2R.$$

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Получим равнобедренную трапецию $$ABCD$$, где $$AD$$ и $$BC$$ — основания, $$AB=CD=l$$ — образующие, $$\angle BAD=\angle CDA=\alpha$$.

Проведём высоту $$BH$$ трапеции $$ABCD$$. Так как $$O_1O_2\perp AD$$, $$O_1O_2\perp BC$$ и $$BH\perp AD$$, то четырёхугольник $$O_2HO_1B$$ — прямоугольник. Следовательно,

$$BH=O_1O_2=2R.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем

$$\sin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{2R}{l},$$

откуда

$$l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$

Теперь найдём радиусы оснований.

Так как шар вписан в усечённый конус, то в осевом сечении окружность вписана в трапецию, а значит, центр $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$BAO_2$$. Поэтому

$$\angle OAO_2=\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AO_2O$$:

$$\tan\angle OAO_2=\frac{OO_2}{AO_2},$$

откуда

$$R=AO_2\tan\frac{\alpha}{2},\qquad AO_2=R\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Значит, радиус большего основания равен

$$R_2=R\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Аналогично для меньшего основания: угол между осью и образующей при верхнем основании равен

$$\angle O_1BO=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(180^\circ-\alpha)=90^\circ-\frac{\alpha}{2},$$

поэтому

$$\tan\angle O_1BO=\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BO_1O$$ получаем