Упр.7.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Стороны прямоугольника равны $$12{,}4$$ и $$26$$. Найдите угол между диагоналями.

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, где $$AD=12{,}4$$, $$DC=26$$, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC$$. Тогда

$$\tg \angle A=\frac{DC}{AD}=\frac{26}{12{,}4}\approx 2{,}0967.$$

Отсюда

$$\angle A \approx 64^\circ 30′.$$

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OD.$$

Следовательно, треугольник $$AOD$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle OAD=\angle ADO=64^\circ 30′.$$

Тогда угол между диагоналями равен

$$\angle AOD=180^\circ-2\cdot 64^\circ 30’=51^\circ.$$

Ответ: $$51^\circ$$.