Упр.11.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 55. На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D. Чему равен угол ADC, если угол ABC равен а? (Два случая.)

Подробный ответ

Угол $$\angle ABC$$ — вписанный, а угол $$\angle ADC$$ тоже вписанный. Оба они опираются на одну и ту же хорду $$AC$$.

Возможны два случая.

1) Точки $$B$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AC$$. Тогда вписанные углы $$\angle ABC$$ и $$\angle ADC$$ опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны:

$$\angle ADC=\angle ABC=a.$$

2) Точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$. Тогда соответствующие центральные углы дополняют друг друга до $$360^\circ$$, поэтому

$$\angle ABC=\frac12\angle AOC,$$

а значит,

$$\angle ADC=\frac12\left(360^\circ-\angle AOC\right).$$

Так как $$\angle ABC=\frac12\angle AOC=a,$$ то

$$\angle ADC=180^\circ-\frac12\angle AOC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-a.$$