Упр.15.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга? (Большим кругом называется сечение шара плоскостью, проходящей через его центр.)

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр шара, $$O_1$$ — центр сечения. Обозначим радиус шара через $$R$$, а радиус полученного сечения — через $$r$$.

Так как плоскость проведена через середину радиуса шара и перпендикулярна ему, то $$OO_1=\frac{R}{2}$$. В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$, где $$A$$ — точка окружности сечения, по теореме Пифагора получаем:

$$r^2=AO_1^2=OA^2-OO_1^2=R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3R^2}{4}.$$

Площадь большого круга равна $$\pi R^2$$, а площадь сечения — $$\pi r^2$$. Тогда

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{большого круга}}} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{r^2}{R^2} = \frac{3R^2/4}{R^2} = \frac{3}{4}.$$

Ответ: $$3:4$$.