Упр.6.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Построить: треугольник по средним линиям;
Построение:
1) Пусть даны отрезки a, b и c равные средним линиям треугольника:
2) На произвольной прямой отложим отрезок A1 C1 равный b;
3) Из точки A1 проведем окружность радиуса c, а из точки C1 проведем
окружность радиуса a, отметим точку B1 на их пересечении;
4) Из точек A1, B1 и C1 проведем окружности радиусов a, b и c соответ-
ственно, отметим точки A, B и C на пересечении окружностей, про-
веденных из соседних вершин треугольника A1 B1 C1;
5) ABC-искомый треугольник.

Пусть даны три отрезка $$a,$$ $$b$$ и $$c,$$ равные средним линиям искомого треугольника.

Построим сначала вспомогательный треугольник $$A_1B_1C_1$$, стороны которого равны данным средним линиям:

1. На произвольной прямой отложим отрезок $$A_1C_1=b.$$
2. Из точки $$A_1$$ проведём окружность радиуса $$c,$$ а из точки $$C_1$$ — окружность радиуса $$a.$$ Их пересечение обозначим через $$B_1.$$
3. Из точек $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1$$ проведём окружности радиусов $$a,$$ $$b$$ и $$c$$ соответственно.
4. Точки пересечения окружностей, проведённых из соседних вершин треугольника $$A_1B_1C_1,$$ обозначим через $$A,$$ $$B$$ и $$C.$$

Тогда треугольник $$ABC$$ — искомый.

Действительно, по построению

$$A_1B_1=c,\quad B_1C_1=a,\quad A_1C_1=b,$$

а также

$$AB_1=AC_1=a,\quad BA_1=BC_1=b,\quad CA_1=CB_1=c.$$

Следовательно, точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ расположены так, что стороны треугольника $$ABC$$ вдвое больше соответствующих средних линий треугольника $$A_1B_1C_1.$$ Значит, $$A_1B_1C_1$$ является треугольником, составленным из средних линий треугольника $$ABC,$$ а значит, построенный треугольник и есть искомый.

Ответ

Построение выполнено по трём данным средним линиям: сначала строится вспомогательный треугольник со сторонами $$a,$$ $$b,$$ $$c,$$ затем по нему восстанавливается искомый треугольник.