Упр.5.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Обозначим через $$A_1, B_1, C_1$$ точки, через которые проведены прямые, параллельные соответственно сторонам $$BC, CA, AB$$.

Проведём высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$. Так как $$A_1C_1 \parallel AC$$, то $$BH \perp A_1C_1$$.

Докажем, что $$BH$$ является серединным перпендикуляром стороны $$A_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$. Имеем:

$$\angle ABC=\angle BCA_1$$, так как $$A_1B_1 \parallel AB$$ и $$BC$$ — секущая;

$$\angle BAC=\angle ABC_1$$, так как $$A_1C_1 \parallel AC$$ и $$AB$$ — секущая;

$$AB$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle ABC_1$$ по второму признаку, откуда $$BC_1=AC$$.

Аналогично, из равенства треугольников $$ABC$$ и $$CBA_1$$ получаем $$BA_1=AC$$.

Значит, $$BA_1=BC_1$$, то есть точка $$B$$ равноудалена от точек $$A_1$$ и $$C_1$$. Следовательно, прямая $$BH$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$A_1C_1$$.

Аналогично доказывается, что две другие высоты треугольника $$ABC$$ являются серединными перпендикулярами двух других сторон треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Но серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Значит, все три высоты треугольника $$ABC$$ пересекаются в одной точке.

Ответ: высоты треугольника пересекаются в одной точке.