Упр.5.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: общую касательную к двум окружностям;
Построение:
1) Пусть даны окружности с центрами в точках O и O1:
2) На окружности с центром в точке O проведем диаметр RR1;
3) На окружности с центром в точке O1 проведем радиус O1 R2;
4) Из точки R2 проведем окружность радиуса OR, отметим точку R3 на
пересечении этой окружности и отрезка O1 R2;
5) Построим диаметр D1 D2 окружности с центром в точке O1 и
радиусом O1 R3;
6) Из точки O проведем окружность радиуса OO1, а из точки O1 проведем
окружность радиуса D1 D2, на пересечении этих окружностей отметим
точку B1;
7) На пересечении прямой O1 B1 и первой окружности с центром O1
отметим точку A1;
8) Постром касательную к окружности с центром в точке O и радиусом OR,
для чего:
— Из точки A проведем окружность радиуса AO, а из точки O проведем
окружность радиуса RR1, на пересечении этих окружностей отметим
точку B2;
— На пересечении отрезка OB и первой окружности с центром O отметим
точку A2;
9) Прямая AA1-искомая.

Подробный ответ

Построим общую касательную к двум окружностям с центрами $$O$$ и $$O_1$$.

1) На окружности с центром $$O$$ проведём диаметр $$RR_1$$.

2) На окружности с центром $$O_1$$ проведём радиус $$O_1R_2$$.

3) Из точки $$R_2$$ проведём окружность радиуса $$OR$$ и отметим точку $$R_3$$ на пересечении этой окружности с отрезком $$O_1R_2$$.

4) Построим диаметр $$D_1D_2$$ окружности с центром $$O_1$$ и радиусом $$O_1R_3$$.

5) Из точки $$O$$ проведём окружность радиуса $$OO_1$$, а из точки $$O_1$$ — окружность радиуса $$D_1D_2$$. На пересечении этих окружностей отметим точку $$B_1$$.

6) На пересечении прямой $$O_1B_1$$ и первой окружности с центром $$O_1$$ отметим точку $$A_1$$.

7) Построим касательную к окружности с центром $$O$$ и радиусом $$OR$$. Для этого из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$AO$$, а из точки $$O$$ — окружность радиуса $$RR_1$$; на пересечении этих окружностей отметим точку $$B_2$$. Затем на пересечении отрезка $$OB$$ и первой окружности с центром $$O$$ отметим точку $$A_2$$.

8) Прямая $$AA_1$$ — искомая общая касательная.

Поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, полученная прямая касается обеих окружностей.