Упр.4.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: расстояния от вершин равностороннего треугольника до,
прямых, содержащих противолежащие им стороны, равны;
Доказательство:
1) Данные расстояния являются высотами треугольника;
2) Пусть треугольник ABC-равносторонний, а отрезки AA1, BB1 и CC1-его
высоты, докажем их равенство;
3) Так как треугольник ABC равносторонний, то угол A = углу B = углу C и AB=AC=BC;
4) Высоты равностороннего треугольника являются его медианами
и биссектрисами, тогда: AB1=CA1=BC1 и угол ABB1 = углу CAA1 = углу BCC1;
5) Прямоугольные треугольники ABB1, CAA1 и BCC1 равны по
катету и противолежащему углу, значит AA1=BB1=CC1, что и
требовлаось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — равносторонний. Обозначим через $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ расстояния от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$ до прямых, содержащих противолежащие стороны. Тогда эти отрезки являются высотами треугольника.

Докажем, что $$AA_1=BB_1=CC_1$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$AB=BC=CA$$ и $$\angle A=\angle B=\angle C$$.

В равностороннем треугольнике высоты одновременно являются медианами и биссектрисами, значит:

$$AB_1=CA_1=BC_1$$

$$\angle ABB_1=\angle CAA_1=\angle BCC_1.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABB_1$$, $$CAA_1$$ и $$BCC_1$$. У них равны по одному катету и острому углу, следовательно, эти треугольники равны.

Отсюда получаем:

$$AA_1=BB_1=CC_1.$$

Значит, расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие стороны, равны.