Упр.15.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: радиусы оснований усеченного конуса равны 3 дм и 7 дм,
образующая равна 5 дм;
Найти: площадь осевого сечения;
Решение:
1) Пусть O и O1-центры оснований данного конуса, тогда отрезок OO1
является его осью и высотой;
2) Рассмотрим осевое сечение ABCD;
3) Отрезки AB и CD параллельны, так как они лежат в параллельных
плоскостях, а также они являются диаметрами оснований, значит
четырехугольник ABCD-трапеция, у которой:
OA=OB=7 дм, AB=2•OA=14 дм, O1 C=O1 D=3 дм и
CD=2•O1 C=6 дм;
4) Отрезки AD и CB являются образующими конуса, значит:
AD=CB=5 дм;
5) Из точки D опустим перпендикуляр DH на отрезок OA;
6) OO1 перпендикулярен O1 D, OO1?OA и DH перпендикулярен OA, значит четырехугольник OHDO1
является прямоугольником, отсюда: DH=OO1 и OH=O1 D=3 дм;
7) AH=OA-OH=7-3=4 дм;
8) В прямоугольном треугольнике AHD по теореме Пифагора:
DH=v(AD^2-AH^2 )=v(5^2-4^2 )=v(25-16)=v9=3 дм;
9) Найдем площадь трапеции ABCD:
S=(AB+CD)/2•DH=(14+6)/2•3=10•3=30 дм^2.
Ответ: 30 дм^2.

Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция, у которой основания равны диаметрам оснований конуса.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — центры оснований усечённого конуса. Тогда $$OO_1$$ — его ось и высота.

В осевом сечении $$ABCD$$ имеем:

$$AB=2\cdot 7=14\text{ дм}, \qquad CD=2\cdot 3=6\text{ дм}.$$

Боковые стороны трапеции равны образующей конуса:

$$AD=BC=5\text{ дм}.$$

Опустим из точки $$D$$ перпендикуляр $$DH$$ на $$AB$$. Тогда $$DH$$ — высота трапеции.

Так как $$OO_1\perp AB$$ и $$DH\perp AB$$, а точки $$O$$ и $$O_1$$ лежат на оси симметрии сечений, то

$$OH=O_1D=3\text{ дм}.$$

Следовательно,

$$AH=AO-OH=7-3=4\text{ дм}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHD$$ по теореме Пифагора:

$$ DH=\sqrt{AD^2-AH^2} =\sqrt{5^2-4^2} =\sqrt{25-16} =3\text{ дм}. $$

Теперь найдём площадь трапеции $$ABCD$$:

$$ S=\frac{AB+CD}{2}\cdot DH =\frac{14+6}{2}\cdot 3 =10\cdot 3 =30\text{ дм}^2. $$

Ответ

$$30\text{ дм}^2$$