Упр.11.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: центром окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, является середина гипотенузы;
Доказательство:
1) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C;
2) Отметим точку O-середину отрезка AB;
3) Проведем окружность с центром в точке O и радиусом OA;
4) Так как BO=OA, то точка B также принадлежит этой окружности;
5) угол ACB=90° и угол AOB=180°:
угол ACB=1/2 угол AOB, значит угол ACB является вписанным в окружность
и опирается на ее диаметр AB;
6) Таким образом, все вершины треугольника ABC лежат на окружности,
значит точка O является центром описанной около него окружности, что
и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть дан прямоугольный $$\triangle ABC$$, в котором $$\angle C=90^\circ$$. Обозначим через $$O$$ середину гипотенузы $$AB$$.

Проведём окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$. Так как $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$OA=OB$$. Значит, точки $$A$$ и $$B$$ лежат на этой окружности.

Кроме того, $$\angle ACB=90^\circ$$. Центральный угол, опирающийся на хорду $$AB$$, равен $$\angle AOB=180^\circ$$, поэтому

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB.$$

Следовательно, угол $$ACB$$ является вписанным и опирается на диаметр $$AB$$. Значит, точка $$C$$ тоже лежит на окружности с диаметром $$AB$$ и центром в точке $$O$$.

Итак, все вершины треугольника $$ABC$$ лежат на одной окружности, а её центром является середина гипотенузы $$AB$$.