Упр.13.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

По данной хорде $$a$$ найдите длину её дуги, если градусная мера дуги равна: 1) $$60^\circ$$; 2) $$90^\circ$$; 3) $$120^\circ$$.

Пусть $$AB=a$$ — данная хорда, $$n$$ — градусная мера дуги, $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OB=R$$ и $$\angle AOB=n$$.

Ход решения

1) Если $$\angle AOB=60^\circ$$, то

треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle A=\angle B=\frac{1}{2}\bigl(180^\circ-60^\circ\bigr)=60^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle AOB$$ равносторонний, значит $$R=OA=AB=a$$.

Длина дуги:

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot n =\frac{\pi a}{180^\circ}\cdot 60^\circ =\frac{\pi a}{3}.$$

2) Если $$\angle AOB=90^\circ$$, то

в прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$AB^2=OA^2+OB^2,$$

то есть

$$a^2=R^2+R^2=2R^2, \qquad R=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Тогда

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot n =\frac{\pi}{180^\circ}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot 90^\circ =\frac{\pi a}{2\sqrt{2}}.$$

3) Если $$\angle AOB=120^\circ$$, то

в равнобедренном треугольнике $$AOB$$

$$\angle A=\angle B=\frac{1}{2}\bigl(180^\circ-120^\circ\bigr)=30^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle AOB}=\frac{OA}{\sin \angle ABO},$$

откуда

$$\frac{a}{\sin 120^\circ}=\frac{R}{\sin 30^\circ}.$$

Так как $$\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, а $$\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$$, получаем

$$R=a\cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} =a\cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} =\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot n =\frac{\pi}{180^\circ}\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\cdot 120^\circ =\frac{2\pi a}{3\sqrt{3}}.$$

Ответ

$$1)\ \frac{\pi a}{3};\quad 2)\ \frac{\pi a}{2\sqrt{2}};\quad 3)\ \frac{2\pi a}{3\sqrt{3}}.$$