Упр.5.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности.
I) Отобразим условие задачи:
Дано: касательная из точки A и окружность с центром O и радиусом R,
касаются в точке C;
Доказать: точка C лежит на основаниии равнобедренного треугольника
OAB, у которого OA=AB и OB=2R;
Доказательство:
1) Отрезок OC является радиусом данной окружности, значит:
OC=R, а также отрезок OC и касательная AC перпендикулярны;
2) Согласно теореме о геометрическом месте точек, равноудаленных
от двух данных точек, существует точка B удаленная от точки C на
расстояние R (как точка A) и при этом отрезок OB перпендикулярен
прямой AC;
3) Так как в треугольнике AOB отрезок AC является высотой и медианой,
то он равнобедренный, отсюда OA=AB;
4) Таким образом, точка C лежит на основаниии OB равнобедренного
треугольника AOB, при этом OB=OC+CB=R+R=2R, что и
требовалось доказать.
II)
Построить: касательную к окружности, проходящую через данную точку;
Построение:
1) Пусть даны точка A и окружность с центром в точке O.
2) Проведем прямую через точку O, на пересечении этой прямой и
данной окружности отметим точки D и D1;
3) Отрезок DD1 равен 2R (как диаметр);
4) Из точки A проведем окружность радиуса AO, а из точки O проведем
окружность радиуса DD1, на пересечении этих окружностей отметим
точку B;
5) На пересечении отрезка OB и окружности с центром в точке O,
отметим точку C, данная точка лежит на основаниии равнобедренного
треугольника AOB;
6) Прямая AC-искомая касательная

1) Пусть из точки $$A$$ к окружности с центром $$O$$ и радиусом $$R$$ проведена касательная $$AC$$, где $$C$$ — точка касания.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

$$OC \perp AC,\qquad OC=R.$$

Проведём через точку $$C$$ прямую, перпендикулярную $$AC$$, и отложим на ней отрезок $$CB=R$$ по другую сторону от точки $$C$$. Тогда точки $$O, C, B$$ лежат на одной прямой, а

$$OB=OC+CB=R+R=2R.$$

Кроме того, точки $$A$$ и $$B$$ равноудалены от точки $$C$$, то есть

$$AC=BC.$$

Следовательно, точка $$C$$ лежит на основании $$AB$$ равнобедренного треугольника $$AOB$$, а его боковые стороны равны:

$$OA=OB.$$

Так как $$OB=2R$$, то и $$OA=AB$$, что и требовалось доказать.

2) Построим касательную к окружности, проходящую через данную точку $$A$$ вне окружности.

1. Проведём через центр $$O$$ прямую и отметим её пересечения с окружностью в точках $$D$$ и $$D_1$$. Тогда $$DD_1$$ — диаметр окружности, значит

$$DD_1=2R.$$

2. Построим окружность с центром в точке $$A$$ радиуса $$AO$$.

3. Построим окружность с центром в точке $$O$$ радиуса $$DD_1$$. Пусть точка их пересечения — $$B$$.

4. Соединим точки $$O$$ и $$B$$. На отрезке $$OB$$ отметим точку $$C$$ так, чтобы $$OC=R$$.

5. Проведём прямую $$AC$$. Она и будет искомой касательной, так как по построению $$C$$ — точка касания.

Ответ

$$C$$ лежит на основании равнобедренного треугольника $$AOB$$, причём $$OA=AB$$ и $$OB=2R$$. Касательная через точку $$A$$ строится по описанному выше построению: искомая прямая — $$AC$$.