Упр.4.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: расстояния от любых двух точек прямой жо параллеьной
прямой равны;
Доказательство:
1) Пусть a и b параллельные прямые, а A и A1-произвольные точки
на прямой a;
2) Опустим из точки A1 перпендикуляр A1 B1 на прямую a;
3) Отложим из точки B1 на прямой b отрезок B1 B, равный отрезку AA1,
так чтобы точки A1 и B были по разные стороны от прямой AB1;
4) Углы A1 AB1 и AB1 B равны как внутренние накрест лежащие углы
при параллельных прямых;
5) Треугольники AB1 A1 и B1 AB равны по первому признаку (AB1-
общая сторона), отсюда угол ABB1 = углу AA1 B1=90° и AB=A1 B1;
6) Таким образом, перпендикуляры из двух случайных точек на
прямой a, опущенные на прямую b равны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$a \parallel b$$, а точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат на прямой $$a$$. Опустим из точки $$A_1$$ перпендикуляр $$A_1B_1$$ на прямую $$b$$. Из точки $$A$$ опустим перпендикуляр $$AB$$ на прямую $$b$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AA_1B_1$$ и $$\triangle B_1AB$$. У них:

$$A_1B_1 \perp b$$ и $$AB \perp b$$, значит $$\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1 = 90^\circ$$;
$$\angle A_1AB_1 = \angle AB_1B$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$;
$$A_1B_1$$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $$\triangle AA_1B_1$$ и $$\triangle B_1AB$$ равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AB = A_1B_1.$$

Но $$AB$$ и $$A_1B_1$$ — это расстояния от точек $$A$$ и $$A_1$$ до прямой $$b$$. Значит, расстояния от любых двух точек прямой $$a$$ до параллельной ей прямой $$b$$ равны.