Упр.15.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, а высота 4 м;
Найти: образующую;
Решение:
1) Пусть точки O и O1-центры оснований данного усеченного конуса,
а отрезок AA1-его образующая, тогда:
OA=6 м, O1 A1=3 м и OO1=4 м;
2) Из точки A1 опустим перпендикуляр A1 H на отрезок OA;
3) Прямые AA1 и OO1 пересекаются в вершине неусеченного конуса,
значит они лежат в одной плоскости;
4) OO1 перпендикулярен O1 A1,OO1?OA и A1 H?OA, значит четырехугольник OHA1 O1
является прямоугольником, отсюда:
A1 H=OO1=4 м и OH=O1 A1=3 м;
5) AH=OA-OH=6-3=3 м;
6) В прямоугольном треугольнике AHA1 по теореме Пифагора:
AA1=v(AH^2+A1 H^2 )=v(3^2+4^2 )=v(16+9)=v25=5 м;
Ответ: 5 м.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — центры оснований усечённого конуса, а $$AA_1$$ — его образующая. Тогда $$OA=6$$ м, $$O_1A_1=3$$ м, $$OO_1=4$$ м.

Из точки $$A_1$$ опустим перпендикуляр $$A_1H$$ на отрезок $$OA$$. Так как прямые $$AA_1$$ и $$OO_1$$ пересекаются в вершине неусечённого конуса, то они лежат в одной плоскости. Кроме того, $$OO_1 \perp OA$$ и $$OO_1 \perp O_1A_1$$, а также $$A_1H \perp OA$$. Значит, четырёхугольник $$OHA_1O_1$$ — прямоугольник.

Отсюда $$A_1H=OO_1=4$$ м и $$OH=O_1A_1=3$$ м.

Тогда

$$AH=OA-OH=6-3=3\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHA_1$$ по теореме Пифагора:

$$ AA_1=\sqrt{AH^2+A_1H^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ м}. $$