Упр.14.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его
площадь пополам; высота треугольника равна h;
Найти: расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из
которой проведена высота;
Решение:
1) Пусть ABC-данный треугольник, BH=h-высота и M-точка
пересечения данной прямой и ысоты BH;
2) Отметим точки E и F на пересечении данной прямой со сторонами
треугольника ABC, тогда по условию задачи: SEBF/SABC =1/2;
3) BH перпендикулярен AC и BH перпендикулярен EF, значит EF перпендикулярен AC;
4) Рассмотрим параллельные прямые EF?AC и секущую AB:
угол BAC=угол BEF (как соответственные углы);
5) треугольник ABC ~ треугольник EFB по двум углам (угол B-общий и угол BAC=угол BEF), значит:
(EB/AB)^2= SEBF/SABC =1/2, отсюда EB/AB=1/v2;
6) треугольник ABH ~ треугольник EMB по двум углам (угол B-общий и угол H=угол M=90°), значит:
BM/BH=EB/AB=1/v2, отсюда BM=BH/v2=h/v2;
Ответ: h/v2.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, $$BH=h$$ — его высота, а $$M$$ — точка пересечения этой высоты с прямой, делящей площадь треугольника пополам.

Обозначим точки пересечения этой прямой со сторонами $$AB$$ и $$BC$$ через $$E$$ и $$F$$. Тогда

$$\frac{S_{EBF}}{S_{ABC}}=\frac12.$$

Так как $$BH \perp AC$$ и данная прямая тоже перпендикулярна $$BH$$, то $$EF \parallel AC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$EFB$$. У них

$$\angle B$$ — общий, $$\angle BAC=\angle BEF$$ как соответственные при $$EF \parallel AC$$.

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle EFB$$, поэтому

$$\left(\frac{EB}{AB}\right)^2=\frac{S_{EBF}}{S_{ABC}}=\frac12,$$

откуда

$$\frac{EB}{AB}=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$EMB$$. Они подобны, так как $$\angle B$$ — общий, а $$\angle AHB=\angle EMB=90^\circ$$.

Из подобия получаем

$$\frac{BM}{BH}=\frac{EB}{AB}=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$BM=\frac{BH}{\sqrt2}=\frac{h}{\sqrt2}.$$

Ответ

$$\frac{h}{\sqrt2}$$