Упр.1.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

I.
Дано: прямая a; точки A и C принадлежат a; луч CA; отрезок CB > CA;
Найти: какая точка лежит между двумя другими;
Решение:
1) У полупрямой CA точка C является начальной, следовательно она
не лежит между двумя другими точками;
2) Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разби-
вается любой его точкой;
3) Допустим, что точка B лежит между точками A и C, тогда:
AC=AB+BC, но CB > AC, значит допущение неверно;
4) Таким образом, между двумя другими лежит точка A;
Ответ: точка A.
II.
Дано: прямая a; точки A и C принадлежат прямой a; отрезок CB > CA;
Доказать: точка A разбивает прямую a на две полупрямые AB и AC;
Доказательство:
1) Полупрямая A лежит на прямой a, значит и отрезок CB лежит на
прямой a;
2) Все три точки A, B и C лежат на прямой a;
3) По предыдущей части задачи стало известно, что точка A лежит
между точками B и C;
4) Следовательно точка A делит прямую a на две дополнительные
полупрямые AC и AB, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

I. Точка $C$ не может лежать между двумя другими точками, так как она является начальной точкой полупрямой $CA$.

Предположим, что между точками $A$ и $C$ лежит точка $B$. Тогда по свойству отрезка

$$AC=AB+BC.$$

Но по условию $$CB>CA,$$ значит, равенство $$AC=AB+BC$$ невозможно. Следовательно, точка $B$ не лежит между $A$ и $C$.

Остаётся единственная возможность: между двумя другими точками лежит точка $A$.

II. Так как точки $A$ и $C$ принадлежат прямой $a$, то они лежат на одной прямой. Из первой части известно, что точка $A$ лежит между точками $B$ и $C$.

Значит, через точку $A$ прямая $a$ разбивается на две дополнительные полупрямые с началом в $A$: $AB$ и $AC$.