Упр.15.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Радиусы оснований усечённого конуса $$3\ м$$ и $$6\ м$$, высота $$4\ м$$. Найдите образующую.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — центры оснований усечённого конуса, а $$AA_1$$ — его образующая. Тогда $$OA=6$$ м, $$O_1A_1=3$$ м, $$OO_1=4$$ м.

Из точки $$A_1$$ опустим перпендикуляр $$A_1H$$ на отрезок $$OA$$. Прямые $$AA_1$$ и $$OO_1$$ пересекаются в вершине неусечённого конуса, значит, они лежат в одной плоскости. Так как $$OO_1 \perp OA$$ и $$OO_1 \perp O_1A_1$$, а также $$A_1H \perp OA$$, то четырёхугольник $$OHA_1O_1$$ — прямоугольник.

Отсюда $$A_1H=OO_1=4$$ м и $$OH=O_1A_1=3$$ м.

Тогда

$$AH=OA-OH=6-3=3\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHA_1$$ по теореме Пифагора:

$$AA_1=\sqrt{AH^2+A_1H^2} =\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5\text{ м}.$$

Ответ: $$5$$ м.