Упр.8.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 51. При каких значениях с прямая x + y + с = 0и окружность х2 + у2 = 1: 1) пересекаются; 2) не пересекаются; 3) касаются?

Подставим из уравнения прямой $$x+y+c=0$$ значение $$x=-y-c$$ в уравнение окружности $$x^2+y^2=1$$:

$$(-y-c)^2+y^2=1$$
$$y^2+2cy+c^2+y^2=1$$
$$2y^2+2cy+(c^2-1)=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$y$$. Прямая и окружность:

• пересекаются, если уравнение имеет два различных корня, то есть $$D>0$$;
• не пересекаются, если корней нет, то есть $$D<0$$;
• касаются, если корень один, то есть $$D=0$$.

Найдём дискриминант:

$$D=(2c)^2-4\cdot 2\cdot (c^2-1)$$
$$D=4c^2-8c^2+8$$
$$D=-4c^2+8.$$

1) Прямая и окружность пересекаются:

$$D>0$$
$$-4c^2+8>0$$
$$c^2<2$$
$$|c|<\sqrt{2}.$$

2) Прямая и окружность не пересекаются:

$$D<0$$
$$-4c^2+8<0$$
$$c^2>2$$
$$|c|>\sqrt{2}.$$

3) Прямая и окружность касаются:

$$D=0$$
$$-4c^2+8=0$$
$$c^2=2$$
$$c=\pm\sqrt{2}.$$

Ответ

1) $$|c|<\sqrt{2}$$; 2) $$|c|>\sqrt{2}$$; 3) $$c=\pm\sqrt{2}$$.