Упр.11.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности. Чему равна хорда $$AC$$, если угол $$ABC$$ равен $$30^\circ$$, а диаметр окружности — $$10\text{ см}$$?

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда вписанный угол $$\angle ABC$$ опирается на дугу $$AC$$, а соответствующий центральный угол $$\angle AOC$$ вдвое больше:

$$\angle AOC=2\angle ABC=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$

Диаметр окружности равен $$10$$ см, значит радиус

$$AO=OC=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

Треугольник $$AOC$$ равнобедренный, так как $$AO=OC$$. При этом его вершины̆ угол равен $$60^\circ$$, поэтому углы при основании тоже равны:

$$\angle OAC=\angle ACO=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$AOC$$ равносторонний, и его сторона $$AC$$ равна радиусу:

$$AC=AO=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5\text{ см}$$.