Упр.4.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: прямая a пересекает отрезок BC в точке O; точки B и C
равноудалены от прямой a;
Доказать: точка O является серединой отрезка BC;
Доказательство:
1) Опустим из точек B и C перпендикуляры BA и CD на прямую a,
тогда AB=CD;
2) Углы BOA и COD равны как вертикальные;
3) Треугольники BOA и COD равны по катету и противолежащему
углу, отсюда BO=OC, то есть точка является серединой отрезка BC,
что и требовалось доказать.

Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры $$BA$$ и $$CD$$ на прямую $$a$$. Тогда $$AB=CD$$, так как точки $$B$$ и $$C$$ равноудалены от прямой $$a$$.

Рассмотрим треугольники $$BOA$$ и $$COD$$. У них:

• $$\angle BAO=\angle CDO=90^\circ$$;
• $$\angle BOA=\angle COD$$ как вертикальные;
• $$AB=CD$$.

Следовательно, $$\triangle BOA \cong \triangle COD$$ по катету и прилежащему острому углу. Отсюда $$BO=OC$$.

Так как точка $$O$$ лежит на отрезке $$BC$$ и $$BO=OC$$, то $$O$$ — середина отрезка $$BC$$.

Ответ

$$O$$ — середина отрезка $$BC$$.