Упр.8.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите точки пересечения окружности $$x^2+y^2=1$$ с прямой: 1) $$y=2x+1$$; 2) $$y=x+1$$; 3) $$y=3x+1$$; 4) $$y=kx+1$$.

Так как точка пересечения окружности и прямой принадлежит обеим фигурам, её координаты удовлетворяют их уравнениям. Подставим уравнение прямой в уравнение окружности $$x^2+y^2=1$$ и найдём координаты точек пересечения.

1) $$y=2x+1$$

$$x^2+(2x+1)^2=1$$
$$x^2+4x^2+4x+1=1$$
$$5x^2+4x=0$$
$$x(5x+4)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=-\frac45$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=2\cdot 0+1=1$$
$$y_2=2\cdot\left(-\frac45\right)+1=-\frac85+1=-\frac35$$

Точки пересечения: $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(-\frac45;-\frac35\right)$$.

2) $$y=x+1$$

$$x^2+(x+1)^2=1$$
$$x^2+x^2+2x+1=1$$
$$2x^2+2x=0$$
$$2x(x+1)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=-1$$

Тогда
$$y_1=0+1=1,\quad y_2=-1+1=0$$

Точки пересечения: $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(-1;0\right)$$.

3) $$y=3x+1$$

$$x^2+(3x+1)^2=1$$
$$x^2+9x^2+6x+1=1$$
$$10x^2+6x=0$$
$$2x(5x+3)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=-\frac35$$

Тогда
$$y_1=3\cdot 0+1=1,\quad y_2=3\cdot\left(-\frac35\right)+1=-\frac95+1=-\frac45$$

Точки пересечения: $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(-\frac35;-\frac45\right)$$.

4) $$y=kx+1$$

$$x^2+(kx+1)^2=1$$
$$x^2+k^2x^2+2kx+1=1$$
$$x^2(1+k^2)+2kx=0$$
$$x\bigl((1+k^2)x+2k\bigr)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=-\frac{2k}{1+k^2}$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=k\cdot 0+1=1$$
$$y_2=k\left(-\frac{2k}{1+k^2}\right)+1=-\frac{2k^2}{1+k^2}+\frac{1+k^2}{1+k^2}=\frac{1-k^2}{1+k^2}$$

Точки пересечения: $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(-\frac{2k}{1+k^2};\frac{1-k^2}{1+k^2}\right)$$.