Упр.15.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Высота конуса $$H$$. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

Подробный ответ

Пусть $$R$$ — радиус основания конуса, $$H$$ — его высота, а $$d$$ — расстояние от вершины до плоскости сечения, параллельной основанию.

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, — круг. Так как плоскость параллельна основанию, то получившийся малый конус подобен исходному. Поэтому отношение радиусов равно отношению высот:

$$\frac{r}{R}=\frac{d}{H},$$

где $$r$$ — радиус сечения. Тогда

$$r=\frac{Rd}{H}.$$

Площади основания и сечения равны соответственно:

$$S=\pi R^2,$$

$$S_1=\pi r^2=\pi\left(\frac{Rd}{H}\right)^2=\pi\frac{R^2d^2}{H^2}.$$

По условию $$S_1=\frac12 S$$, значит

$$\pi\frac{R^2d^2}{H^2}=\frac12\pi R^2.$$

Сократим на $$\pi R^2$$:

$$\frac{d^2}{H^2}=\frac12.$$

Отсюда

$$d=\frac{H}{\sqrt2}.$$