Упр.14.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника?

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, $$BH$$ — его высота, а $$M$$ — середина высоты $$BH$$. Тогда

$$\frac{BM}{BH}=\frac12.$$

Проведённая через точку $$M$$ прямая перпендикулярна $$BH$$, значит она параллельна основанию $$AC$$:

$$EF \parallel AC.$$

Тогда треугольники $$ABH$$ и $$EMB$$ подобны по двум углам: $$\angle B$$ — общий, а $$\angle AHB=\angle EMB=90^\circ$$. Следовательно,

$$\frac{EB}{AB}=\frac{BM}{BH}=\frac12.$$

Теперь треугольники $$ABC$$ и $$EFB$$ подобны по двум углам: $$\angle B$$ — общий, а $$\angle BAC=\angle BEF$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$EF \parallel AC$$. Значит,

$$\frac{BF}{BC}=\frac{EB}{AB}=\frac12.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

$$\frac{S_{EFB}}{S_{ABC}}=\left(\frac{BF}{BC}\right)^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Значит, меньшая часть площади составляет $$\frac14$$ всей площади, а большая — $$\frac34$$. Поэтому прямая делит площадь треугольника в отношении

$$1:3.$$

Ответ

$$1:3$$