Упр.6.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны.

Пусть $$ABCD$$ — четырёхугольник, описанный около окружности, а $$E, F, K, N$$ — точки касания окружности со сторонами $$AD, AB, BC, CD$$ соответственно.

Тогда отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

$$AE=AF,\quad BF=BK,\quad CK=CN,\quad DN=DE.$$

Сложим соответствующие равные отрезки:

$$AB+CD=(AF+FB)+(CN+ND).$$

Подставим равные отрезки касательных:

$$AB+CD=(AE+BK)+(CK+DE).$$

Перегруппируем слагаемые:

$$AB+CD=(AE+DE)+(BK+CK)=AD+BC.$$

Следовательно, у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$