Упр.13.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы
длин остальных звеньев;
Доказательство:
1) Пусть данная замкнутая ломаная состоит из n вершин;
2) Возьмем произвольную вершину Ak (k < n); 3) Рассмотрим данную замкнутую ломаную как незамкнутую ломаную, концы которой соединяет отрезок Ak A(k+1), тогда согласно теореме 13.1 длина отрезка Ak A(k+1) будет меньше суммы остальных (n-1) отрезков данной ломаной, что и требовалось доказать.

Рассмотрим произвольное звено замкнутой ломаной, например $$A_kA_{k+1}$$.

Если мысленно удалить это звено, то остальные звенья ломаной образуют незамкнутую ломаную, соединяющую точки $$A_k$$ и $$A_{k+1}$$. По теореме о ломаной длина отрезка, соединяющего концы ломаной, меньше суммы длин её звеньев:

$$A_kA_{k+1}<A_{k-1}A_k+A_{k-2}A_{k-1}+\dots+A_{k+1}A_{k+2}.$$

Значит, длина любого звена замкнутой ломаной меньше суммы длин остальных звеньев. Следовательно, тем более она не больше этой суммы.

Ответ

Длина каждого звена замкнутой ломаной не больше суммы длин остальных звеньев.