Упр.12.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 5. Даны стороны параллелограмма а и b и один из углов а. Найдите диагонали параллелограмма.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, где $$AB=a$$, $$BC=AD=b$$, $$\angle DAB=\alpha$$.

Тогда $$AD \parallel BC$$, а прямая $$AB$$ — секущая. Поэтому

$$\angle ABC=180^\circ-\alpha,$$

следовательно,

$$\cos \angle ABC=-\cos \alpha.$$

Найдём диагональ $$BD$$ по теореме косинусов в треугольнике $$BAD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle BAD.$$

Подставим данные:

$$BD^2=a^2+b^2-2ab\cos \alpha,$$

откуда

$$BD=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \alpha}.$$

Теперь найдём диагональ $$AC$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC.$$

Так как $$\cos \angle ABC=-\cos \alpha$$, получаем

$$AC^2=a^2+b^2+2ab\cos \alpha,$$

значит,

$$AC=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha}.$$

Ответ

$$BD=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \alpha},\qquad AC=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha}.$$