Упр.5.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними (рис. 107).
2. Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.

1) Пусть диаметр $$AD$$ и хорда $$AB$$, равная радиусу, проведены из точки $$A$$, лежащей на окружности.

Тогда $$AO=OD=OB=r$$ — радиусы окружности, а также $$AB=r$$ по условию. Следовательно,

$$AO=OB=AB.$$

Значит, треугольник $$AOB$$ равносторонний, поэтому

$$\angle OAB=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$.

2) Пусть хорды $$AB$$ и $$AC$$, равные радиусу, проведены из точки $$A$$, лежащей на окружности.

Тогда $$AO=OB=OC=r$$ — радиусы окружности, а также $$AB=AC=r$$ по условию. Значит,

$$AO=OB=AB$$ и $$AO=OC=AC.$$

Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равносторонние, поэтому

$$\angle OAB=60^\circ,\qquad \angle OAC=60^\circ.$$

Тогда угол между хордами равен

$$\angle BAC=\angle OAB+\angle OAC=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$

Ответ: $$120^\circ$$.