Вопрос 5 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Вывести: формулу для расстояния между точками;
Решение:
1) Пусть на плоскости xy даны две точки: A1 (x1; y1) и A2 (x2;y2);
2) Рассмотрим сначала случай, когда x1=/=x2 и y1=/=y2;
3) Проведем через точки A1 и A2 прямые, параллельные осям координат,
и обозначим через A точку их пересечения;
4) Расстояние между точками A и A2 равно |y1-y2 |, а расстояние между
точками A и A2 равно |x1-x2 |;
5) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AA1 A2:
d^2=(x-x2)^2+(y1-y2)^2, где d-расстояние A1 A2;
6) Хотя данная формула и для расстояния между точками и выведена
в предположении x1=/=x2 и y1=/=y2, она остается верной и в других
случаях;
7) Если x1=x2 и y1=/=y2, то d=|y1-y2 |;
8) Если x1?x2 и y1=y2, то d=|x1-x2 |;
9) Если x1=x2 и y1=y2, то точки A1 и A2 совпадают, тогда d=0;
10) Во всех трех случаях выведенная формула даст такой же результат;
Пусть на плоскости заданы две точки $$A_1(x_1; y_1)$$ и $$A_2(x_2; y_2)$$.
Рассмотрим сначала случай, когда $$x_1 \ne x_2$$ и $$y_1 \ne y_2$$. Проведём через точки $$A_1$$ и $$A_2$$ прямые, параллельные осям координат, и обозначим через $$A$$ точку их пересечения.
Тогда расстояния от точки $$A$$ до точек $$A_1$$ и $$A_2$$ равны соответственно $$|x_1-x_2|$$ и $$|y_1-y_2|$$. В прямоугольном треугольнике $$AA_1A_2$$ по теореме Пифагора получаем:
$$d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2,$$
где $$d$$ — расстояние между точками $$A_1$$ и $$A_2$$. Следовательно,
$$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$
Эта формула остаётся верной и в остальных случаях:
- если $$x_1=x_2$$ и $$y_1\ne y_2$$, то $$d=|y_1-y_2|$$;
- если $$x_1\ne x_2$$ и $$y_1=y_2$$, то $$d=|x_1-x_2|$$;
- если $$x_1=x_2$$ и $$y_1=y_2$$, то точки совпадают и $$d=0$$.
Во всех случаях получаем одну и ту же формулу расстояния между точками.
Ответ
$$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$
