Упр.7.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Выяснить: могут ли стороны прямоугольного треугольника быть
пропорциональны числам 5,6 и 7;
Решение:
1) Пусть x-коэффициент пропорциональности сторон этого
прямоугольного треугольника, тогда его гипотенуза равна c=7x
(как наибольшее число), а катеты соствляют a=5x и b=6x;
3) Согласно теореме Пифагора: c^2=a^2+b^2;
4) a^2+b^2=(5x)^2+(6x)^2=(25+36) x^2=61x^2, но
c^2=(7x)^2=49x^2=/=61x^2, следовательно такого числа x, а значит и
треугольника, не существует;
Ответ: не могут.

Пусть стороны прямоугольного треугольника пропорциональны числам $$5, 6, 7$$. Тогда можно обозначить их как $$5x$$, $$6x$$ и $$7x$$, где $$7x$$ — гипотенуза, так как это наибольшее число.

По теореме Пифагора должно выполняться равенство:

$$c^2=a^2+b^2$$

Подставим данные:

$$ (7x)^2=(5x)^2+(6x)^2 $$

$$ 49x^2=25x^2+36x^2=61x^2 $$

Получаем противоречие: $$49x^2 \ne 61x^2$$. Значит, такого прямоугольного треугольника не существует.

Ответ: не могут.