Упр.6.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: у четрыехугольника, описанного около окружности, суммы
противолежащих сторон равны;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник, а E, F, K, N-точки касания
впмсанной окружности со сторонами четырехугольника;
2) AE=EF, BF=BK, CK=CN, DN=DE как отрезки касательных
к окружности проведенных из одной точки (задача 16 параграфа 5);
3) AB+CD=AF+FB+CN+ND=AE+BK+CK+DE=BC+AD,
то есть суммы противолежащих сторон четырехугольника ABCD равны,
что и требовалось доказать.

Пусть $$ABCD$$ — четырёхугольник, описанный около окружности, а $$E, F, K, N$$ — точки касания окружности со сторонами $$AD, AB, BC, CD$$ соответственно.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$AE=AF,\quad BF=BK,\quad CK=CN,\quad DN=DE.$$

Тогда

$$ AB+CD=(AF+FB)+(CN+ND). $$

Подставим равные отрезки касательных:

$$ AB+CD=(AE+BK)+(CK+DE). $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ AB+CD=(AE+DE)+(BK+CK)=AD+BC. $$

Следовательно, суммы противолежащих сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Ответ

$$AB+CD=BC+AD.$$