Вопрос 5 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Выведите формулу для расстояния между точками.

Пусть на плоскости даны две точки $$A_1(x_1;y_1)$$ и $$A_2(x_2;y_2)$$.

Рассмотрим сначала случай, когда $$x_1\ne x_2$$ и $$y_1\ne y_2$$. Проведём через точки $$A_1$$ и $$A_2$$ прямые, параллельные осям координат, и обозначим через $$A$$ точку их пересечения. Тогда

$$AA_1=|x_1-x_2|,\qquad AA_2=|y_1-y_2|.$$

Треугольник $$AA_1A_2$$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора

$$d^2=|x_1-x_2|^2+|y_1-y_2|^2,$$

где $$d=A_1A_2$$ — расстояние между точками. Следовательно,

$$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$

Эта формула верна и в остальных случаях:

• если $$x_1=x_2$$ и $$y_1\ne y_2$$, то $$d=|y_1-y_2|$$;
• если $$x_1\ne x_2$$ и $$y_1=y_2$$, то $$d=|x_1-x_2|$$;
• если $$x_1=x_2$$ и $$y_1=y_2$$, то точки совпадают и $$d=0$$.

Во всех этих случаях формула $$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ даёт правильный результат.