Упр.4.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: прямая a пересекает отрезок BC по середине;
Доказать: точки B и C находятся на одинаковом расстоянии от прямой a;
Доказательство:
1) Пусть O-точка пересечения прямой a и отрезка BC, тогда BO=BC;
2) Опустим из точек B и C перпендикуляры BA и CD на прямую a;
3) Углы BOA и COD равны как вертикальные;
4) Треугольники BOA и COD равны по гипотенузе и острому углу,
отсюда AB=CD, то есть точки B и C равноудалены от прямой a, что
и требовалось доказать.

Пусть $$O$$ — точка пересечения прямой $$a$$ с отрезком $$BC$$. Так как прямая $$a$$ пересекает отрезок $$BC$$ в середине, то $$BO=OC$$.

Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры $$BA$$ и $$CD$$ на прямую $$a$$. Тогда $$\angle BAO=\angle CDO=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$BOA$$ и $$COD$$. У них:

• $$BO=OC$$;
• $$\angle BOA=\angle COD$$ как вертикальные;
• $$\angle BAO=\angle CDO=90^\circ$$.

Следовательно, треугольники $$BOA$$ и $$COD$$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда $$AB=CD$$.

Значит, точки $$B$$ и $$C$$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $$a$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$AB=CD$$, следовательно, точки $$B$$ и $$C$$ равноудалены от прямой $$a$$.