Упр.1.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок $$AB$$ с концами на сторонах угла, то он пересекает: 1) отрезок $$AC$$ с концами на сторонах угла; 2) любой отрезок $$CD$$ с концами на сторонах угла (рис. 30).

Так как луч $$OK$$ пересекает отрезок $$AB$$ с концами на сторонах угла $$AOB$$, то он проходит между сторонами этого угла.

Продолжим луч $$OK$$ до прямой $$OK$$. Эта прямая разделяет плоскость на две полуплоскости. Поскольку луч $$OK$$ лежит между сторонами угла $$AOB$$, точки $$A$$ и $$B$$ находятся в разных полуплоскостях.

1) Если отрезок $$AC$$ имеет концы на сторонах угла $$AOB$$, то точки $$A$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$OK$$. Значит, отрезок $$AC$$ пересекает прямую $$OK$$, а так как пересечение происходит на луче $$OK$$, то луч $$OK$$ пересекает отрезок $$AC$$.

2) Аналогично, если отрезок $$CD$$ имеет концы на сторонах угла $$AOB$$, то точки $$C$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$OK$$. Следовательно, отрезок $$CD$$ пересекает прямую $$OK$$, а значит, и луч $$OK$$.

Таким образом, если луч, исходящий из вершины угла, пересекает один отрезок с концами на сторонах угла, то он пересекает любой такой отрезок.