Упр.4.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Прямая $$a$$ пересекает отрезок $$BC$$ в середине. Докажите, что точки $$B$$ и $$C$$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $$a$$.

Пусть $$O$$ — точка пересечения прямой $$a$$ с отрезком $$BC$$. Так как прямая $$a$$ пересекает отрезок $$BC$$ в середине, то $$BO=OC$$.

Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры $$BA$$ и $$CD$$ на прямую $$a$$. Тогда $$\angle BAO=\angle CDO=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$BOA$$ и $$COD$$. У них:

• $$BO=OC$$;
• $$\angle BAO=\angle CDO=90^\circ$$;
• $$\angle BOA=\angle COD$$ как вертикальные.

Следовательно, треугольники $$BOA$$ и $$COD$$ равны по гипотенузе и острому углу. Значит, $$AB=CD$$.

Но $$AB$$ и $$CD$$ — это расстояния от точек $$B$$ и $$C$$ до прямой $$a$$. Следовательно, точки $$B$$ и $$C$$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $$a$$.