Упр.1.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: угол AOB; луч OK пересекает отрезок AB в точке K;
Доказать: луч OK пересекает любой отрезок AC и CD с концами на
сторонах угла;
Доказательство:
1) Так как луч OK пересекает отрезок AB с концами на сторонах
угла AOB, то он лежит между сторонами этого угла;
2) Если продолжить луч до прямой OK, то она разделит плоскость
на две полуплоскости;
3) Так как луч OK лежит между сторонами угла, то лучи OA и OB
окажутся в разных полуплоскостях;
4) Концы отрезка AC лежат на сторонах угла AOB, значит точки
A и C лежат в разных полуплоскостях, следовательно отрезок AC
пересечет луч OK;
5) Концы отрезка CD лежат на сторонах угла AOB, значит точки
C и D лежат в разных полуплоскостях, следовательно отрезок CD
пересечет луч OK, что и требовалось доказать;

Подробный ответ

1) Так как луч $$OK$$ пересекает отрезок $$AB$$ с концами на сторонах угла $$AOB$$, то он лежит между сторонами этого угла.

2) Продолжим луч $$OK$$ до прямой. Эта прямая разделяет плоскость на две полуплоскости.

3) Поскольку луч $$OK$$ расположен между сторонами угла, лучи $$OA$$ и $$OB$$ окажутся в разных полуплоскостях.

4) Концы отрезка $$AC$$ лежат на сторонах угла $$AOB$$, значит точки $$A$$ и $$C$$ находятся в разных полуплоскостях. Следовательно, отрезок $$AC$$ пересекает луч $$OK$$.

5) Аналогично, концы отрезка $$CD$$ лежат на сторонах угла $$AOB$$, значит точки $$C$$ и $$D$$ находятся в разных полуплоскостях. Следовательно, отрезок $$CD$$ пересекает луч $$OK$$.

Таким образом, луч $$OK$$ пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла $$AOB$$.