Упр.10.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Даны три точки $$O$$, $$A$$, $$B$$. Точка $$X$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$\lambda:\nu$$, считая от точки $$A$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{OX}$$ через векторы $$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$$ и $$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$$.
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении $$2:1$$, считая от соответствующих вершин.

Подробный ответ

1) Пусть $$\overrightarrow{OA}=\vec a,$$ $$\overrightarrow{OB}=\vec b,$$ а точка $$X$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$\lambda:\mu$$, считая от точки $$A$$.

Тогда по правилу треугольника

$$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec b-\vec a.$$

Так как $$AX:XB=\lambda:\mu,$$ то

$$\overrightarrow{AX}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,\overrightarrow{AB}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(\vec b-\vec a).$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OX}=\vec a+\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(\vec b-\vec a)=\frac{\mu\vec a+\lambda\vec b}{\lambda+\mu}.$$

Итак,

$$\overrightarrow{OX}=\frac{\mu\vec a+\lambda\vec b}{\lambda+\mu}.$$

2) Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AB$$ соответственно, а медианы $$AA_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$O$$.

Обозначим

$$\overrightarrow{AC}=\vec b,\qquad \overrightarrow{AB}=\vec c.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC_1}=\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12\vec c,$$

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12\vec b+\frac12\vec c.$$

Пусть

$$\frac{CO}{OC_1}=\frac{\lambda}{\mu}.$$

Тогда по формуле из пункта 1

$$\overrightarrow{AO}=\frac{\mu\overrightarrow{AC}+\lambda\overrightarrow{AC_1}}{\lambda+\mu}=\frac{\mu\vec b+\frac12\lambda\vec c}{\lambda+\mu}.$$

Так как $$O$$ лежит и на медиане $$AA_1$$, то векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{AA_1}$$ коллинеарны. Следовательно, их коэффициенты при $$\vec b$$ и $$\vec c$$ пропорциональны:

$$\frac{\mu}{\lambda+\mu}:\frac12=\frac{\frac12\lambda}{\lambda+\mu}:\frac12,$$

откуда

$$\mu=\frac12\lambda,\qquad \lambda=2\mu.$$

Значит,

$$\frac{CO}{OC_1}=\frac{\lambda}{\mu}=2:1.$$

Аналогично доказывается, что и на каждой медиане точка пересечения делит её в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Следовательно, все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $$2:1$$.