Упр.1.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке $$E$$. Докажите, что отрезок $$AC$$ не пересекает прямую $$BD$$ (рис. 29).

Прямая $$BD$$ делит плоскость на две полуплоскости $$m$$ и $$n$$.

Предположим, что отрезок $$AC$$ пересекает прямую $$BD$$. Тогда точки $$A$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях: пусть $$A \in m$$, а $$C \in n$$.

Так как отрезок $$AB$$ пересекает прямую $$BD$$ в точке $$B$$, то все его точки, в том числе точка $$E$$, лежат в одной полуплоскости с точкой $$A$$, то есть в $$m$$.

Аналогично, поскольку отрезок $$CD$$ пересекает прямую $$BD$$ в точке $$D$$, все его точки, в том числе точка $$E$$, лежат в полуплоскости $$n$$.

Получаем, что точка $$E$$ должна одновременно принадлежать обеим полуплоскостям $$m$$ и $$n$$, что невозможно. Следовательно, наше предположение неверно.

Значит, отрезок $$AC$$ не пересекает прямую $$BD$$.