Упр.4.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

4-48. Докажите, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляры $$OD$$, $$OE$$ и $$OF$$ на стороны $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOD$$ и $$AOE$$. У них:

$$AO$$ — общая гипотенуза;
$$\angle OAD=\angle OAE$$, так как $$AO$$ — биссектриса угла $$A$$;
$$\angle ADO=\angle AEO=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle AOE$$ по гипотенузе и острому углу. Значит, $$OD=OE$$.

Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$BOE$$ и $$BOF$$ получаем $$OE=OF$$.

Итак, $$OD=OE=OF$$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$COD$$ и $$COF$$. У них:

$$CO$$ — общая гипотенуза;
$$OD=OF$$;
$$\angle CDO=\angle CFO=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle COD \cong \triangle COF$$ по гипотенузе и катету. Отсюда $$\angle OCD=\angle OCF$$, то есть луч $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$.

Значит, третья биссектриса также проходит через точку $$O$$. Следовательно, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.