Упр.14.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Пусть $$a=40$$ см и $$b=42$$ см — катеты прямоугольного треугольника, а $$c$$ — его гипотенуза.

По теореме Пифагора:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{40^2+42^2}=\sqrt{1600+1764}=\sqrt{3364}=58\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит

$$R=\frac{c}{2}=\frac{58}{2}=29\text{ см}.$$

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{40+42-58}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ см}.$$

Ответ: $$R=29\text{ см},\ r=12\text{ см}.$$