Упр.11.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.

Пусть отношение расстояний от искомой точки до данных точек $$A$$ и $$B$$ равно $$k$$, где $$k \ne 1$$.

Возьмём любую точку $$M$$, для которой

$$\frac{AM}{BM}=k.$$

Проведём в треугольнике $$ABM$$ биссектрису $$MC$$, где точка $$C$$ лежит на прямой $$AB$$. По свойству биссектрисы

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}=k.$$

Значит, точка $$C$$ не зависит от выбора точки $$M$$.

Теперь проведём биссектрису внешнего угла при вершине $$M$$ треугольника $$ABM$$. Она пересечёт прямую $$AB$$ в точке $$D$$. По свойству биссектрисы внешнего угла

$$\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM}=k.$$

Следовательно, точка $$D$$ тоже не зависит от выбора точки $$M$$.

Так как $$MC$$ и $$MD$$ — биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине $$M$$, то

$$\angle CMD=90^\circ.$$

Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$CD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CMD$$ точка $$O$$ — середина гипотенузы, значит

$$OC=OD=OM.$$

Но отрезок $$CD$$ не зависит от выбора точки $$M$$, значит и точка $$O$$ постоянна. Следовательно, все точки $$M$$, удовлетворяющие условию

$$\frac{AM}{BM}=k,$$

равноудалены от одной и той же точки $$O$$. По определению, это окружность.

Ответ

Геометрическое место точек, для которых $$\frac{AM}{BM}=k \ne 1,$$ есть окружность.