Упр.1.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дан треугольник $$ABC$$. На стороне $$AC$$ взята точка $$B_1$$, а на стороне $$BC$$ — точка $$A_1$$. Докажите, что отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются (рис. 28).

Пусть $$B_1 \in AC$$ и $$A_1 \in BC$$.

Прямая $$BB_1$$ пересекает отрезок $$AC$$ в точке $$B_1$$, значит точки $$A$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$BB_1$$.

Прямые $$BC$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$B$$. Так как две прямые не могут иметь две общие точки, то точка $$A_1$$, лежащая на отрезке $$BC$$, находится с точкой $$C$$ в одной полуплоскости относительно прямой $$BB_1$$.

Следовательно, точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$BB_1$$, а значит, отрезок $$AA_1$$ пересекает прямую $$BB_1$$.

Аналогично, точки $$B$$ и $$B_1$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$AA_1$$, поэтому отрезок $$BB_1$$ пересекает прямую $$AA_1$$.

Итак, отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются.