Упр.14.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Доказать: в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности
равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой;
Доказательство:
1) Пусть a и b-катеты, а c-гипотенуза прямоугольного треугольника;
2) Площадь прямоугольного треугольника равна: S=1/2•ab;
3) По теореме Пифагора: c^2=a^2+b^2;
4) Найдем радиус вписанной окружности по формуле из задачи 14.42:
r=2S/(a+b+c)=ab/(a+b+c)=(ab•(a+b-c))/((a+b+c)•(a+b-c) )=(ab•(a+b-c))/((a+b)^2-c^2 )=
=(ab•(a+b-c))/(2ab+a^2+b^2-c^2 )=(ab•(a+b-c))/2ab=(a+b-c)/2,
Что и требовалось доказать.
Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты прямоугольного треугольника, а $$c$$ — его гипотенуза.
Площадь такого треугольника равна
$$S=\frac{1}{2}ab.$$
С другой стороны, для любого треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой
$$r=\frac{2S}{a+b+c}.$$
Подставим сюда найденную площадь:
$$r=\frac{ab}{a+b+c}.$$
Умножим числитель и знаменатель на $$a+b-c$$:
$$r=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b+c)(a+b-c)}.$$
В знаменателе получаем разность квадратов:
$$r=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b)^2-c^2}.$$
По теореме Пифагора $$c^2=a^2+b^2$$, значит
$$ (a+b)^2-c^2=a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2)=2ab. $$
Тогда
$$r=\frac{ab(a+b-c)}{2ab}=\frac{a+b-c}{2}.$$
Следовательно, радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
Ответ
$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$
