Упр.7.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 7-47. В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза $$c$$ и острый угол $$a$$. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, где $$\angle C=90^\circ$$, $$AB=c$$, $$\angle B=\alpha$$. Тогда

$$BC=AB\cdot \cos\angle B=c\cos\alpha,$$

$$AC=AB\cdot \sin\angle B=c\sin\alpha.$$

Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CD$$ на гипотенузу $$AB$$. Тогда $$AD$$ и $$DB$$ — проекции катетов $$AC$$ и $$BC$$ на гипотенузу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CBD$$:

$$\cos\angle B=\frac{BD}{BC},$$

откуда
$$BD=BC\cdot \cos\angle B=c\cos\alpha\cdot \cos\alpha=c\cos^2\alpha.$$

Так как в треугольнике $$ABC$$ и $$CAD$$

$$\angle ABC=90^\circ-\angle BAC,$$

$$\angle DCA=90^\circ-\angle BAC,$$

то $$\angle DCA=\angle ABC=\alpha$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CAD$$:

$$\sin\angle C=\sin\alpha=\frac{AD}{AC},$$

откуда
$$AD=AC\cdot \sin\alpha=c\sin\alpha\cdot \sin\alpha=c\sin^2\alpha.$$

$$\cos\angle C=\cos\alpha=\frac{CD}{AC},$$

откуда
$$CD=AC\cdot \cos\alpha=c\sin\alpha\cos\alpha.$$

Ответ: $$BC=c\cos\alpha,\ AC=c\sin\alpha,\ DB=c\cos^2\alpha,\ AD=c\sin^2\alpha,\ CD=c\sin\alpha\cos\alpha.$$