Упр.6.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).

Пусть $$A$$ — данная точка, $$O$$ — центр окружности, $$B$$ и $$C$$ — точки касания.

Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные, проведённые из одной точки, то

$$AB=AC.$$

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, значит

$$OB\perp AB,\qquad OC\perp AC.$$

По условию касательные взаимно перпендикулярны, поэтому $$AB\perp AC$$. Тогда четырёхугольник $$ABOC$$ имеет три прямых угла, следовательно, и четвёртый угол тоже прямой. Значит, $$ABOC$$ — прямоугольник.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому

$$AB=OC,\qquad AC=OB.$$

Но $$OB=OC=10$$ см как радиусы окружности. Следовательно,

$$AB=AC=10\text{ см}.$$

Ответ: $$10$$ см.